17 2011-2 Relações de Girard

Questão 17
Considere a equação polinomial x^3 − 9x^2 + kx + 21 = 0, com k real.
Se suas raízes estão em progressão aritmética, o valor de log2   (3k − 1)^2 é
(A) 8.
(B) 10.
(C) 12.
(D) 16.
(E) 20.

As raízes estão em progressão aritmética então
b=(a+c)/2
a=b-r
c=b+r

Para achar o terceiro termo pode-se utilizar as relações de Girard:


Relações de Girard:

A)Equação do segundo grau:

 Considere a equação ax² + bx + c = 0, com a 0 e sejam x'e x'' as raízes reais dessa equação.

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Observe as seguintes relações:

• Soma das raízes (S)

          

     

• Produto das raízes (P)

                    

 Como ,temos:

Para equações do terceiro grau:

O segundo termo dividido pelo primeiro *-1 ainda é a soma das raízes.
E o terceiro termo dividido pelo primeiro é a soma das raízes multiplicadas de 2 em 2.
ex: x1x2+x2x3+x1x3
O ultimo termo dividido pelo primeiro *-1 é a multiplicação de todas as raizes
ex: x1x2x3

Fazendo Girard para o segundo termo:
x-r+x+x+r=-b/a = -(-9)/1 =9
3x=9
x=3

então a raiz do meio é 3!
substituindo na equação:
3^3 − 9*3^2 + k3 + 21 = 0
27-81+3k+21=0
48-81+3k=0
3k=33
k=11

Fazendo Girard para o ultimo termo:
(x-r)*x*(x+r)= (x²-r²)*x = x³-r²x = -d/a= -21
3³-r²3 = -21
27- r²3=-21
9-r²=-7
r²=16
r=4

Fazendo Girard para o terceiro termo:
(x-r)*x+ (x+r)*x+ (x-r)*(x+r)= x²-rx+x²+rx+x²+xr-xr-r² =3x²-r² = c/a
3(3)² - r² = k/1
...cqd

as raizes são 3, -1 e 7 mas não foi pedido.

fazendo a segunda parte do exercicio:
log2   (3k − 1)^2 = log2   (33 − 1)^2=log2  32^2 =log2  2^5^2 = log2 2^10 = 10log2  2 = 10